Matematica discreta Esempi

$f (x) = x^{3} + 5 x^{2} - 35 x - 39$

Passaggio 1

Trova le intercette di x.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Per trovare l'intercetta di x, sostituisci $y$ con $0$ e risolvi per $x$ .

$0 = x^{3} + 5 x^{2} - 35 x - 39$

Passaggio 1.2

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Riscrivi l'equazione come $x^{3} + 5 x^{2} - 35 x - 39 = 0$ .

$x^{3} + 5 x^{2} - 35 x - 39 = 0$

Passaggio 1.2.2

Scomponi $x^{3} + 5 x^{2} - 35 x - 39$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 39, \pm 3, \pm 13$

$q = \pm 1$

Passaggio 1.2.2.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 39, \pm 3, \pm 13$

Passaggio 1.2.2.3

Sostituisci $- 1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 1$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.3.1

Sostituisci $- 1$ nel polinomio.

${(- 1)}^{3} + 5 {(- 1)}^{2} - 35 \cdot - 1 - 39$

Passaggio 1.2.2.3.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$- 1 + 5 {(- 1)}^{2} - 35 \cdot - 1 - 39$

Passaggio 1.2.2.3.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$- 1 + 5 \cdot 1 - 35 \cdot - 1 - 39$

Passaggio 1.2.2.3.4

Moltiplica $5$ per $1$ .

$- 1 + 5 - 35 \cdot - 1 - 39$

Passaggio 1.2.2.3.5

Somma $- 1$ e $5$ .

$4 - 35 \cdot - 1 - 39$

Passaggio 1.2.2.3.6

Moltiplica $- 35$ per $- 1$ .

$4 + 35 - 39$

Passaggio 1.2.2.3.7

Somma $4$ e $35$ .

$39 - 39$

Passaggio 1.2.2.3.8

Sottrai $39$ da $39$ .

$0$

Passaggio 1.2.2.4

Poiché $- 1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} - 35 x - 39}{x + 1}$

Passaggio 1.2.2.5

Dividi $x^{3} + 5 x^{2} - 35 x - 39$ per $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$35 x$

$39$

Passaggio 1.2.2.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$

Passaggio 1.2.2.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Passaggio 1.2.2.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} + x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Passaggio 1.2.2.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$

Passaggio 1.2.2.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$35 x$

Passaggio 1.2.2.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $4 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$35 x$

Passaggio 1.2.2.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$35 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$

Passaggio 1.2.2.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $4 x^{2} + 4 x$

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$35 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$

Passaggio 1.2.2.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$35 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$39 x$

Passaggio 1.2.2.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$35 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$39 x$	-	$39$

Passaggio 1.2.2.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 39 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	+	$4 x$	-	$39$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$35 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$39 x$	-	$39$

Passaggio 1.2.2.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	+	$4 x$	-	$39$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$35 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$39 x$	-	$39$
							-	$39 x$	-	$39$

Passaggio 1.2.2.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 39 x - 39$

				$x^{2}$	+	$4 x$	-	$39$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$35 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$39 x$	-	$39$
							+	$39 x$	+	$39$

Passaggio 1.2.2.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	+	$4 x$	-	$39$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$35 x$	-	$39$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$35 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$39 x$	-	$39$
							+	$39 x$	+	$39$
										$0$

Passaggio 1.2.2.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} + 4 x - 39$

Passaggio 1.2.2.6

Scrivi $x^{3} + 5 x^{2} - 35 x - 39$ come insieme di fattori.

$(x + 1) (x^{2} + 4 x - 39) = 0$

Passaggio 1.2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x^{2} + 4 x - 39 = 0$

Passaggio 1.2.4

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 1.2.4.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 1.2.5

Imposta $x^{2} + 4 x - 39$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Imposta $x^{2} + 4 x - 39$ uguale a $0$ .

$x^{2} + 4 x - 39 = 0$

Passaggio 1.2.5.2

Risolvi $x^{2} + 4 x - 39 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 1.2.5.2.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 4$ e $c = - 39$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 39)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.3.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 39}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 39$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 39}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 39$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 156}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.2.3.1.3

Somma $16$ e $156$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{172}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.2.3.1.4

Riscrivi $172$ come $2^{2} \cdot 43$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.3.1.4.1

Scomponi $4$ da $172$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (43)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.2.3.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 43}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.2.3.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{43}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.2.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{43}}{2}$

Passaggio 1.2.5.2.3.3

Semplifica $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{43}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{43}$

Passaggio 1.2.5.2.4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.4.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 39}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.2.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 39$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 39}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.2.4.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 39$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 156}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.2.4.1.3

Somma $16$ e $156$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{172}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.2.4.1.4

Riscrivi $172$ come $2^{2} \cdot 43$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.4.1.4.1

Scomponi $4$ da $172$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (43)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.2.4.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 43}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.2.4.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{43}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.2.4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{43}}{2}$

Passaggio 1.2.5.2.4.3

Semplifica $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{43}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{43}$

Passaggio 1.2.5.2.4.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = - 2 + \sqrt{43}$

Passaggio 1.2.5.2.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.5.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 39}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.2.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 39$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 39}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.2.5.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 39$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 156}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.2.5.1.3

Somma $16$ e $156$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{172}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.2.5.1.4

Riscrivi $172$ come $2^{2} \cdot 43$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.5.1.4.1

Scomponi $4$ da $172$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (43)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.2.5.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 43}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.2.5.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{43}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.5.2.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{43}}{2}$

Passaggio 1.2.5.2.5.3

Semplifica $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{43}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{43}$

Passaggio 1.2.5.2.5.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = - 2 - \sqrt{43}$

Passaggio 1.2.5.2.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - 2 + \sqrt{43}, - 2 - \sqrt{43}$

Passaggio 1.2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x + 1) (x^{2} + 4 x - 39) = 0$ vera.

$x = - 1, - 2 + \sqrt{43}, - 2 - \sqrt{43}$

Passaggio 1.3

intercetta(e) di x in forma punto.

Intercetta(e) di x: $(- 1, 0), (- 2 + \sqrt{43}, 0), (- 2 - \sqrt{43}, 0)$

Passaggio 2

Trova le intercette di y.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Per trovare l'intercetta di y, sostituisci $x$ con $0$ e risolvi per $y$ .

$y = {(0)}^{3} + 5 {(0)}^{2} - 35 \cdot 0 - 39$

Passaggio 2.2

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = 0^{3} + 5 {(0)}^{2} - 35 \cdot 0 - 39$

Passaggio 2.2.2

Rimuovi le parentesi.

$y = 0^{3} + 5 \cdot 0^{2} - 35 \cdot 0 - 39$

Passaggio 2.2.3

Rimuovi le parentesi.

$y = {(0)}^{3} + 5 {(0)}^{2} - 35 \cdot 0 - 39$

Passaggio 2.2.4

Semplifica ${(0)}^{3} + 5 {(0)}^{2} - 35 \cdot 0 - 39$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$y = 0 + 5 {(0)}^{2} - 35 \cdot 0 - 39$

Passaggio 2.2.4.1.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$y = 0 + 5 \cdot 0 - 35 \cdot 0 - 39$

Passaggio 2.2.4.1.3

Moltiplica $5$ per $0$ .

$y = 0 + 0 - 35 \cdot 0 - 39$

Passaggio 2.2.4.1.4

Moltiplica $- 35$ per $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 - 39$

Passaggio 2.2.4.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$y = 0 + 0 - 39$

Passaggio 2.2.4.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$y = 0 - 39$

Passaggio 2.2.4.2.3

Sottrai $39$ da $0$ .

$y = - 39$

Passaggio 2.3

intercetta(e) di y in forma punto.

Intercetta(e) di y: $(0, - 39)$

Passaggio 3

Elenca le intersezioni.

Intercetta(e) di x: $(- 1, 0), (- 2 + \sqrt{43}, 0), (- 2 - \sqrt{43}, 0)$

Intercetta(e) di y: $(0, - 39)$

Passaggio 4